ஃபெர்மட்டின் கடைசித் தேற்றம்: லீன் மூலம் 11 நாட்களில் முழு ஆதாரம் முறைப்படுத்தப்பட்டது

கடினமான தேற்றத்தின் பின்னால் உள்ள எளிய கேள்வி

இந்த தேற்றம் aⁿ + bⁿ = cⁿ சமன்பாடு பற்றியது. அதிவேகக் குறி (exponent) இரண்டாக இருக்கும்போது, நேர்மறை முழு-எண் தீர்வுகள் உள்ளன: 3² + 4² = 5², ஏனெனில் 9 + 16 = 25. அதிவேகக் குறி இரண்டை விடப் பெரிய முழு எண்ணாக இருக்கும்போது அத்தகைய தீர்வு எதுவும் இல்லை என்பதே ஃபெர்மட்டின் கூற்று.

நேர்மறை முழு எண்களுக்கான கட்டுப்பாடு அவசியம். இது கூறப்பட்ட சிக்கலில் இருந்து பூஜ்ஜியம், எதிர்மறை மதிப்புகள் மற்றும் பின்னங்களை விலக்குகிறது. பூஜ்ஜியத்தை அனுமதித்தால் 0ⁿ + 1ⁿ = 1ⁿ போன்ற உதாரணங்களை உடனடியாக உருவாக்கலாம். அது ஃபெர்மட்டின் தேற்றத்திற்கு முரணாக இருக்காது; கேட்கப்படும் கேள்வியின் நிலைமைகளை அது மாற்றிவிடும்.

பல சாத்தியமான எண்களைச் சோதிப்பது ஒவ்வொரு நேர்மறை முழு எண்ணுக்கும் கோரிக்கையை நிரூபிக்க முடியாது. கருத்தில் கொள்ள எண்ணற்ற பல சேர்க்கைகள் மற்றும் அதிவேகக் குறிகள் உள்ளன. ஒரு பெரிய தேடல் எந்த விதிவிலக்கையும் கண்டறியவில்லை என்று புகாரளிப்பதற்குப் பதிலாக, ஒரு சான்று அனைத்தையும் உள்ளடக்கிய ஒரு காரணத்தை நிறுவ வேண்டும். இந்த வேறுபாடு ஒரு ஈர்க்கக்கூடிய எண் சோதனையிலிருந்து கணித சான்றைப் பிரிக்கிறது.

வைல்ஸின் பணி ஏற்கனவே சாதித்தது என்ன

ஃபெர்மட் பதினேழாம் நூற்றாண்டில் பிரச்சனையை கூறினார், ஆனால் ஒரு பொதுவான ஆதாரம் பல நூற்றாண்டுகளாக மழுப்பலாகவே இருந்தது. ரிச்சர்ட் டெய்லரின் (Richard Taylor) முக்கிய பங்களிப்புடன் 1994 இல் வைல்ஸ் தீர்க்கமான பணியை முடித்தார். ஆவணங்கள் 1995 இல் வெளிவந்தன. நிறைவு மற்றும் வெளியீட்டு தேதிகளை தனித்தனியாக வைத்திருப்பது, அதே திருப்புமுனையின் இரண்டு விளக்கங்களை முரண்பாடாக தோன்றுவதைத் தவிர்க்கிறது.

ஆதாரத்திற்கான பாதை ஃபெர்மட்டின் சமன்பாட்டை நீள்வட்ட வளைவுகள் மற்றும் மட்டு வடிவங்களுடன் இணைத்தது. நீள்வட்ட வளைவுகள் சாதாரண நீள்வட்டங்கள் அல்ல, குறிப்பிட்ட கன சமன்பாடுகளால் விவரிக்கப்படும் கணிதப் பொருட்கள். மட்டு வடிவங்கள் மிகவும் கட்டமைக்கப்பட்ட செயல்பாடுகள். முன்னதாக வேலைகள் ஃபெர்மட்டின் கூற்றுக்கு ஒரு கற்பனையான விதிவிலக்கை பொருந்தாத கணித பண்புகளைக் கொண்ட நீள்வட்ட வளைவுடன் இணைத்தது.

அரை நிலைத்தன்மை (semistable) நீள்வட்ட வளைவுகள் எனப்படும் வகைக்குத் தேவையான மாடுலாரிட்டி (modularity) முடிவை வைல்ஸ் நிறுவினார். முந்தைய இணைப்புடன் இணைந்து, இது அனுமான விதிவிலக்கை நிராகரித்தது. ஏபெல் பரிசின் (Abel Prize) மேற்கோள் அந்த யோசனைகளின் சங்கிலியை விவரிக்கிறது. எனவே, எண்களின் வழியாக முடிவில்லாத தேடலைச் சாதிக்கவில்லை, ஆனால் கணிதத்தின் பல்வேறு பகுதிகளை இணைக்கும் ஒரு கட்டமைப்பு வாதமாகும்.

லீன் சரிபார்க்கும் விஷயம்

எழுதப்பட்ட ஆதாரம் பல வழக்கமான படிகளைக் கூறாமல் விட்டுவிடுகிறது, ஏனெனில் ஒரு பயிற்சி பெற்ற வாசகர் அவற்றை வழங்க முடியும். ஃபார்மலைசேஷன் வரையறைகள் மற்றும் தருக்க சார்புகளை மென்பொருளுக்கு போதுமான அளவு துல்லியமாக்குகிறது. லீன் என்பது இந்த நோக்கத்திற்காகப் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு நிரலாக்க மொழி மற்றும் ஆதாரம் உதவியாளர். சான்று உதவியாளர் என்பது முறையான கணித வாதங்களை உருவாக்குவதற்கும் சரிபார்ப்பதற்குமான ஒரு அமைப்பாகும்.

லீனின் ஆவணங்கள் ஆதாரத்தை உருவாக்க உதவும் கருவிகளை அதைச் சரிபார்க்கும் சிறிய நம்பகமான கூறுகளிலிருந்து வேறுபடுத்துகின்றன. அந்த கூறு கர்னல் (kernel) என்று அழைக்கப்படுகிறது. தானியங்கு முறைகள் முன்மொழியலாம் அல்லது பகுத்தறிவைக் கூட்டலாம், ஆனால் அதன் விளைவாக வரும் சான்று பொருள் சரிபார்ப்பு விதிகளை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும். சரளமான விளக்க உரை தானாகவே ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட சான்றாக அமையாது.

இது உருவாக்கம் மற்றும் சரிபார்ப்புக்கு இடையே பயனுள்ள பிரிப்பை உருவாக்குகிறது. ஒரு வாதத்தைத் தேடும் போது ஒரு அமைப்பு தோல்வியுற்ற முயற்சிகளை மேற்கொள்ளலாம்; அந்த முயற்சிகள் நம்பிக்கையுடன் உருவாக்கப்பட்டதால் மட்டுமே சரிபார்க்கப்படாது. முக்கியமானது என்னவென்றால், இறுதி முறையான கூற்று, அது பயன்படுத்தும் அனுமானங்கள் மற்றும் அந்த அனுமானங்களை முடிவுடன் இணைக்கும் பகுத்தறிவு ஆகியவையே.

பொது வெளியீடு கோரும் உரிமைகோரல்கள் என்ன

இது முதல் முழுமையான கணினி சரிபார்க்கப்பட்ட சான்று என்று ஆந்த்ரோபிக் விவரிக்கிறது மற்றும் சுமார் பதிமூன்று மில்லியன் லீன் குறியீடுகளைப் புகாரளிக்கிறது. அந்த அளவுகோல் மற்றும் முன்னுரிமை உரிமைகோரல்கள் நிறுவனத்தின் கணக்கிற்கு உரியவை. வரையறைகள், நூலகங்கள் அல்லது முந்தைய முறைப்படுத்தல் முயற்சிகள் இல்லாமல் தொடங்குவதற்குப் பதிலாக, மனித கணிதம் மற்றும் இருக்கும் ஓப்பன்-சோர்ஸ் (open-source) திட்டங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

களஞ்சியம் நேர்மறை இயற்கை எண்கள் மற்றும் குறைந்தது மூன்று அதிவேகக் குறிகளைப் பயன்படுத்தி ஃபெர்மட்டின் முடிவைக் கூறுகிறது. லீனின் நிலையான அடிப்படைகளுக்கு அப்பாற்பட்ட முடிக்கப்படாத ஆதார ஒதுக்கிடங்கள் மற்றும் கூடுதல் அனுமானங்களை விலக்கும் நோக்கிலான காசோலைகளை இது விவரிக்கிறது. இது இரண்டாவது கர்னல் செயலாக்கத்தைப் பயன்படுத்தி சரிபார்ப்பையும் தெரிவிக்கிறது. விளம்பரத் தலைப்பை மட்டுமே நம்பும்படி வாசகர்களைக் கேட்பதை விட, இந்தப் பதிவுகள் சரிபார்க்கும் அணுகுமுறையை ஆய்வு செய்யக்கூடியதாக ஆக்குகின்றன.

ஒரு முறையான முன்மொழிவை சரிபார்ப்பதற்கும் அது உத்தேசித்துள்ள உண்மையான கேள்வியை வெளிப்படுத்துகிறதா என்பதை முடிவு செய்வதற்கும் இடையே இன்னும் ஒரு வேறுபாடு உள்ளது. மாற்றப்பட்ட வரையறைகளுடன் சரியாகச் சரிபார்க்கப்பட்ட அறிக்கை வித்தியாசமான ஒன்றை நிரூபிக்கக்கூடும். களஞ்சியம் அறிக்கை பொருத்தத்தை வெளிப்படையாகக் குறிக்கிறது. லீனின் சொந்த வழிகாட்டுதல் நம்பகமான அடித்தளங்களையும் துல்லியமான உருவாக்கத்தையும் ஒரு ஆதாரத்தை மதிப்பிடுவதற்கான ஒரு பகுதியாகக் கருதுகிறது.

முடிவுரை

செப்டம்பர் வளர்ச்சியானது நிறுவப்பட்ட கணிதத்திற்கான புதிய சரிபார்ப்பு கலைப்பொருளைப் பற்றியது, ஃபெர்மட்டின் பிரச்சனையின் முதல் தீர்வு அல்ல. அதன் முக்கியத்துவம் இயந்திரச் சரிபார்ப்பு மற்றும் மேலதிக ஆய்வுக்காகப் பெரிய அளவிலான பகுத்தறிவை கிடைக்கச் செய்வதில்தான் உள்ளது. நீடித்த பங்களிப்பானது அந்த முறையான வேலையின் நம்பகத்தன்மை மற்றும் மறுபயன்பாடு ஆகியவற்றைப் பொறுத்தது, வெறுமனே உருவாக்கப்பட்ட குறியீட்டின் வேகம் அல்லது அளவைப் பொறுத்து அல்ல.